Στην κορυφή ενός λόφου που βλέπει στον κόλπο της Τεργέστης, ο Alberto Maspero του International School for Advanced Studies, παρακολουθεί τη θάλασσα να αλλάζει διάθεση καθώς φυσάει ο παγωμένος, άστατος άνεμος που κατεβαίνει από τις Άλπεις. Όταν ο άνεμος δυναμώνει, τα κύματα γυρίζουν ανάποδα, τραβιούνται μακριά από το λιμάνι και χάνουν σταδιακά τη μορφή τους μέχρι που η επιφάνεια του νερού γίνεται τελείως ήρεμη. Αυτή η καθημερινή εικόνα, που μοιάζει τόσο απλή, κρύβει έναν μαθηματικό γρίφο που απασχολεί επιστήμονες εδώ και αιώνες.
Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του νερού γράφτηκαν για πρώτη φορά πριν από σχεδόν 300 χρόνια από τον Leonhard Euler. Θεωρητικά, αν γνωρίζουμε τη θέση και την ταχύτητα κάθε σταγόνας, μπορούμε να προβλέψουμε ακριβώς πώς θα κινηθεί το νερό. Πρακτικά όμως, οι εξισώσεις αυτές είναι σχεδόν αδύνατον να λυθούν. Ακόμη και η πιο απλή μορφή κύματος, μια σταθερή ακολουθία ήπιων, επαναλαμβανόμενων κορυφών, αποδεικνύεται μαθηματικός εφιάλτης.
«Πριν ασχοληθώ με τα μαθηματικά, νόμιζα πως τα θαλάσσια κύματα ήταν κάτι πλήρως κατανοητό», λέει ο Paolo Ventura, ερευνητής στο Swiss Federal Institute of Technology στη Λωζάνη και πρώην φοιτητής του Maspero. «Στην πραγματικότητα, είναι κάτι το αλλόκοτο».
Η αλλόκοτη αυτή φύση των κυμάτων οφείλεται στο ότι ακόμη και χωρίς τριβή, τακτικά κύματα καταρρέουν ξαφνικά σε ακανόνιστες μορφές. Οι μαθηματικοί ήξεραν ότι αυτό συνέβαινε στην πράξη, αλλά δεν μπορούσαν να αποδείξουν το γιατί. Μέχρι πρόσφατα. Ο Maspero, μαζί με τον Ventura, τον Massimiliano Berti και τη Livia Corsi από το Roma Tre University, κατάφεραν επιτέλους να δείξουν πότε και γιατί αυτά τα κύματα αποσταθεροποιούνται.
Η ανακάλυψή τους αποτελεί μέρος ενός νέου… κύματος στη μαθηματική έρευνα των ωκεανών. Νέες υπολογιστικές μέθοδοι και προηγμένες θεωρητικές τεχνικές επιτρέπουν στους ερευνητές να αποδεικνύουν υποθέσεις που μέχρι πριν από λίγα χρόνια θεωρούνταν απλησίαστες.
Η ιστορία αυτής της μαθηματικής περιπέτειας ξεκινά πολύ παλιότερα. Από τον 17ο αιώνα, οι φυσικοί προσπαθούσαν να περιγράψουν τα κύματα με την ίδια ακρίβεια που είχαν περιγράψει το φως και τον ήχο. Όμως η θάλασσα αντιστεκόταν. Μόλις τον 19ο αιώνα, ο Sir George Stokes διατύπωσε τις πρώτες εξισώσεις για «ελεύθερα» κύματα που δεν περιορίζονται από τοιχώματα ή σταθερά όρια. Τα λεγόμενα κύματα Stokes αποτελούσαν ένα μοντέλο ιδανικής σταθερότητας: εφόσον δεν υπήρχαν εξωτερικές διαταραχές, μπορούσαν θεωρητικά να ταξιδεύουν για πάντα χωρίς να χάσουν τη μορφή τους.
Όμως τη δεκαετία του 1960, το πείραμα των T. Brooke Benjamin και Jim Feir απέδειξε το αντίθετο. Σε μια δεξαμενή κυμάτων, διαπίστωσαν ότι τα κύματα δεν έφταναν ποτέ στο τέλος της. Αντίθετα, αποδομούνταν σταδιακά. Αυτή η ανακάλυψη έδειξε ότι ακόμη και τα πιο απλά κύματα είναι ευάλωτα.
Δεκαετίες αργότερα, δύο ερευνητές από το University of Washington, ο Bernard Deconinck και η Katie Oliveras, προχώρησαν ένα βήμα παραπέρα. Χρησιμοποιώντας υπολογιστικές προσομοιώσεις, βρήκαν ότι η σταθερότητα των κυμάτων Stokes εξαρτάται από τη συχνότητα της διαταραχής. Μικρές, υψηλής συχνότητας παρεμβολές –όπως τα απόνερα ενός καγιάκ– συνήθως δεν επηρεάζουν τα κύματα. Αντίθετα, αργές και μεγάλες διαταραχές, όπως αυτές ενός πλοίου, μπορούν να τα καταστρέψουν ολοκληρωτικά.
Το απρόσμενο ήταν ότι, σε ακόμη υψηλότερες συχνότητες, η αστάθεια επανεμφανιζόταν. Οι Deconinck και Oliveras εντόπισαν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο, μια ακολουθία περιοχών σταθερότητας και αστάθειας που έμοιαζαν με νησιά μέσα σε απέραντο ωκεανό – τις αποκάλεσαν isole, δηλαδή «νησιά» στα ιταλικά.
Όταν το 2019 οι ερευνητές συνάντησαν τον Maspero και την ομάδα του, τους ζήτησαν να βοηθήσουν να αποδειχθεί μαθηματικά αυτό το περίεργο μοτίβο. Οι Ιταλοί άρχισαν να μελετούν τα χαμηλότερα φάσματα συχνοτήτων που προκαλούσαν κατάρρευση των κυμάτων, μετατρέποντάς τα σε πίνακες αριθμών που περιέγραφαν πώς αναπτύσσεται η αστάθεια με τον χρόνο. Αν ένας κρίσιμος αριθμός σε αυτούς τους πίνακες ήταν θετικός, το κύμα θα διαλυόταν. Αν ήταν μηδενικός, θα επέμενε.
Η ομάδα χρειάστηκε σχεδόν έναν χρόνο και 45 σελίδες υπολογισμών για να ολοκληρώσει την πρώτη απόδειξη. Για τις επόμενες, ανέπτυξαν έναν γενικό τύπο που περιέγραφε κάθε isola. Χρησιμοποιώντας υπολογιστές, επαλήθευσαν τα αποτελέσματα για τις πρώτες 21 περιπτώσεις όπου όλες έδειχναν θετικές τιμές, άρα αστάθεια. Το μοτίβο ήταν ξεκάθαρο, αλλά όχι ακόμη αποδεδειγμένο.
Η λύση ήρθε από τον Doron Zeilberger, μαθηματικό του Rutgers University, ο οποίος ανέπτυξε έναν αλγόριθμο που του επέτρεψε να επαληθεύσει τις ίδιες σχέσεις για πάνω από 2.000 isole. Το αποτέλεσμα ήταν αδιαμφισβήτητο: το μοτίβο συνεχίζεται στο άπειρο. Οι Deconinck και Oliveras είχαν δίκιο: οι «νησίδες αστάθειας» είναι πραγματικές.
Για πρώτη φορά, λοιπόν, οι μαθηματικοί γνωρίζουν ακριβώς ποιες διαταραχές μπορούν να καταστρέψουν ένα κύμα και ποιες όχι!
[source]
