Τρεις δεκαετίες μετά την απόδειξη του περίφημου Θεωρήματος του Fermat, μια ομάδα τεσσάρων κορυφαίων μαθηματικών κατάφερε να επεκτείνει μια βασική ιδέα που βρισκόταν πίσω από εκείνη την ιστορική ανακάλυψη. Με αυτό το κατόρθωμα, πλησιάζουμε ένα βήμα πιο κοντά σε μια «ενιαία θεωρία» των μαθηματικών, έναν πολυπόθητο στόχο γνωστό ως το πρόγραμμα Langlands.
Η αφετηρία της ιστορίας τοποθετείται το 1994, όταν ο Andrew Wiles, με τη βοήθεια του Richard Taylor, έδωσε οριστική λύση σε ένα πρόβλημα που είχε μείνει ανοιχτό για περισσότερα από 300 χρόνια: το Θεώρημα του Fermat. Όμως η απόδειξη του Wiles δεν περιορίστηκε στο να επιλύσει απλώς αυτό το ιστορικό ερώτημα της θεωρίας αριθμών. Το θεμελιώδες βήμα ήταν η σύνδεση δύο φαινομενικά άσχετων αντικειμένων: των ελλειπτικών καμπυλών και των αρθρωτών (modular) μορφών. Αυτή η «γέφυρα» επέτρεψε στους μαθηματικούς να μετακινούνται από τον έναν κόσμο στον άλλο και να αντλούν πληροφορίες μέσα από τον συμμετρικό καθρέφτη των εξισώσεων.
Το πρόγραμμα Langlands γεννήθηκε από την ιδέα ότι τέτοιες συνδέσεις δεν περιορίζονται μόνο στις ελλειπτικές καμπύλες. Αν οι υποθέσεις του επιβεβαιωθούν, τότε ένας τεράστιος αριθμός μαθηματικών αντικειμένων θα έχει το δικό του «είδωλο» στο βασίλειο των μορφών modular. Η δυνατότητα να εξερευνά κανείς τα μαθηματικά διαμέσου αυτών των καθρεφτών θα φέρει επανάσταση στην κατανόηση ολόκληρων τομέων της θεωρίας αριθμών.
Μέχρι σήμερα, η απόδειξη αυτών των αντιστοιχιών για πιο περίπλοκες δομές θεωρούνταν σχεδόν αδύνατη. Όμως τέσσερις μαθηματικοί—ο Frank Calegari από το University of Chicago, οι George Boxer και Toby Gee από το Imperial College London και ο Vincent Pilloni από το Γαλλικό Εθνικό Κέντρο Επιστημονικής Έρευνας—κατάφεραν να αποδείξουν ότι μια μεγάλη κατηγορία εξισώσεων που είναι γνωστές ως abelian επιφάνειες μπορούν επίσης να συσχετιστούν με μορφές modular. Μια πύλη που μέχρι πρότινος θεωρούνταν κλειστή άνοιξε ξανά.
Οι αβελιανές επιφάνειες είναι πιο σύνθετες από τις ελλειπτικές καμπύλες. Ενώ οι τελευταίες περιγράφονται με δύο μεταβλητές (x και y), οι αβελιανές εισάγουν μια τρίτη μεταβλητή (z), δημιουργώντας πολυδιάστατες δομές με βαθύτερες και πιο περίπλοκες αλληλεξαρτήσεις. Αυτή η επιπλέον πολυπλοκότητα είχε καθηλώσει κάθε προηγούμενη προσπάθεια να αποδειχθεί μια σχέση αρθρωτότητας.
Η πρόκληση έγκειται στο να ταυτοποιήσει κανείς, για κάθε αβελιανή επιφάνεια, μια μορφή modular με την ίδια «υπογραφή» αριθμών. Όμως η κατασκευή μιας τέτοιας μορφής είναι εξαιρετικά δύσκολη, καθώς οι απαιτούμενες συμμετρίες περιορίζουν τις δυνατότητες των μαθηματικών. Η ομάδα επέλεξε να εργαστεί με έναν συγκεκριμένο τύπο αυτών των επιφανειών, τις «κανονικές» αβελιανές επιφάνειες, που είναι περισσότερο διαχειρίσιμες από άποψη υπολογισμών.
Μη βρίσκοντας άμεση λύση, οι ερευνητές προσέγγισαν το πρόβλημα μέσω της «αριθμητικής του ρολογιού», μιας μορφής αριθμητικής όπου οι αριθμοί «επαναλαμβάνονται» μετά από έναν καθορισμένο κύκλο, όπως στις ώρες ενός ρολογιού. Αποδείχθηκε ότι μπορούσαν να δουλέψουν με τα αριθμητικά δεδομένα όχι σε απόλυτη μορφή, αλλά μετρώντας σε κύκλους. Αντί για σύγκριση σε απόλυτο επίπεδο, θα ήταν αρκετό τα αριθμητικά «ίχνη» των αβελιανών επιφανειών και των μορφών modular να συμπίπτουν όταν μετρούνται, π.χ., με βάση το 3.
Όμως ακόμη και αυτή η απλοποίηση δεν αρκούσε. Η κρίσιμη καμπή ήρθε όταν εντόπισαν μια μεγάλη οικογένεια μορφών modular, των οποίων οι αριθμοί μπορούσαν να υπολογιστούν εύκολα, αν και μόνο υπό τον περιορισμό του κύκλου μέτρησης 2. Το πρόβλημα τότε ήταν να «γεφυρώσουν» τα δεδομένα ανάμεσα στα ρολόγια των βάσεων 2 και 3.
Σε αυτό το κρίσιμο σημείο, ένα φαινομενικά άσχετο αποτέλεσμα του Lue Pan από το 2020 αποδείχθηκε η χαμένη σύνδεση. Ο Pan είχε αναπτύξει τεχνικές για μορφές modular που, αν και σε πρώτη ανάγνωση δεν σχετίζονταν με την προσπάθεια της ομάδας, αποδείχθηκαν ακριβώς το εργαλείο που χρειαζόταν. Χάρη στην τεχνική του, κατόρθωσαν τελικά να κάνουν τη σύνδεση πλήρως λειτουργική.
Το καλοκαίρι του 2023, τρεις από τους τέσσερις ερευνητές συναντήθηκαν στη Βόννη της Γερμανίας, στο υπόγειο του Ινστιτούτου Έρευνας Hausdorff, για μια εντατική εβδομάδα δουλειάς. Ο τέταρτος, Frank Calegari, ακύρωσε ένα ταξίδι στην Κίνα κυριολεκτικά την τελευταία στιγμή και ενώ το αυτοκίνητό του είχε ρυμουλκηθεί έξω από το προξενείο. Εκείνη η εβδομάδα, γεμάτη 12ωρες συνεδρίες, απέδωσε καρπούς. Ένα χρόνο και 230 σελίδες απόδειξης αργότερα, το έργο τους αναρτήθηκε δημόσια, αποτελώντας ορόσημο για τη σύγχρονη θεωρία αριθμών.
Η νέα αυτή απόδειξη ανοίγει πλέον τον δρόμο για την επέκταση της αρθρωτότητας και σε πιο γενικές αβελιανές επιφάνειες. Η ομάδα συνεργάζεται ήδη με τον Lue Pan για το επόμενο βήμα. Όπως λέει ο Toby Gee, μέσα στην επόμενη δεκαετία αναμένει να έχουν λυθεί σχεδόν όλα τα επιμέρους κομμάτια.
Η δουλειά αυτή δεν αποτελεί απλώς ένα τεχνικό κατόρθωμα. Ανοίγει νέους ορίζοντες και επιτρέπει τη διατύπωση νέων εικασιών, όπως μια εκδοχή του Θεωρήματος Birch και Swinnerton-Dyer για αβελιανές επιφάνειες. Μέχρι πρόσφατα, δεν ξέραμε καν αν είχε νόημα να συζητάμε για κάτι τέτοιο.
Όπως σημειώνει ο Andrew Sutherland από το MIT:
Πολλά πράγματα που κάποτε ήταν απλώς όνειρα, τώρα δείχνουν εφικτά. Αυτό το θεώρημα αλλάζει τα δεδομένα.
[via]
