Μια σημαντική καινοτομία στον τομέα της άλγεβρας υπόσχεται να ανατρέψει δεδομένα που ίσχυαν επί αιώνες. Ο Ομότιμος Καθηγητής Μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Νέας Νότιας Ουαλίας (UNSW) στο Σίδνεϊ, Norman Wildberger, σε συνεργασία με τον επιστήμονα πληροφορικής Dr. Dean Rubine, ανέπτυξε μια νέα μέθοδο επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων υψηλού βαθμού, ένα πρόβλημα που είχε μείνει άλυτο από τον 19ο αιώνα.
Η πρόκληση των πολυωνύμων
Τα πολυώνυμα είναι εξισώσεις στις οποίες μια μεταβλητή υψώνεται σε διάφορες δυνάμεις, όπως η εξίσωση δεύτερου βαθμού: 1 + 4x − 3x² = 0. Αποτελούν θεμέλιο όχι μόνο της μαθηματικής θεωρίας αλλά και πρακτικών εφαρμογών, από την κίνηση των πλανητών έως τους αλγορίθμους σε προγράμματα υπολογιστών.
Αν και οι εξισώσεις δεύτερου, τρίτου και τέταρτου βαθμού έχουν γνωστές λύσεις από την αρχαιότητα και την Αναγέννηση, αντίστοιχη γενική λύση για εξισώσεις πέμπτου βαθμού και άνω (γνωστές ως “quintic” και “higher-order” polynomials) θεωρούνταν ανέφικτη. Αυτό αποδείχθηκε το 1832 από τον Γάλλο μαθηματικό Évariste Galois, ο οποίος έδειξε ότι οι συμμετρίες που επιτρέπουν την επίλυση των απλών εξισώσεων δεν ισχύουν για τις πιο περίπλοκες περιπτώσεις.
Η απόρριψη των ριζών και η νέα προσέγγιση
Ο καθηγητής Wildberger απορρίπτει τις λύσεις που βασίζονται σε ρίζες όπως η τετραγωνική ή κυβική ρίζα, δηλαδή ρητούς ή άρρητους αριθμούς που έχουν άπειρη δεκαδική ανάπτυξη. «Η έννοια των άρρητων αριθμών βασίζεται σε ασαφείς αντιλήψεις για το άπειρο και οδηγεί σε λογικά προβλήματα», υποστηρίζει.
Αντί αυτών, η νέα μέθοδος βασίζεται σε σειρές δυνάμεων (power series), μια μορφή άπειρων πολυωνύμων όπου κάθε όρος περιλαμβάνει μια δύναμη του x. Μέσω κατάλληλης αποκοπής αυτών των σειρών, μπορούν να εξαχθούν προσεγγιστικές αριθμητικές λύσεις. Ο Wildberger εξηγεί ότι η μέθοδος αποδείχθηκε αποτελεσματική ακόμη και σε ιστορικές εξισώσεις, όπως αυτή του μαθηματικού Wallis από τον 17ο αιώνα, που χρησιμοποιήθηκε για να παρουσιαστεί η μέθοδος του Νεύτωνα.
Συνδυαστική λογική και γεωμετρική έμπνευση
Το θεμέλιο της μεθόδου δεν είναι αριθμητικό, αλλά λογικό και γεωμετρικό. Η ομάδα εισάγει μια νέα ακολουθία αριθμών που προέρχεται από τη Συνδυαστική, τον κλάδο των Μαθηματικών που ασχολείται με πρότυπα αριθμών μέσα σε σύνολα. Ένα από τα πιο γνωστά παραδείγματα είναι οι αριθμοί Catalan, οι οποίοι περιγράφουν με πόσους τρόπους μπορεί να διαμελιστεί ένα πολύγωνο σε τρίγωνα με μη τέμνουσες γραμμές.
Ο καθηγητής Wildberger προχώρησε πέρα από τους Catalan, επεκτείνοντας την ακολουθία σε πολυδιάστατη μορφή, δημιουργώντας μια νέα μαθηματική δομή την οποία ονομάζει Geode. Η νέα αυτή δομή ανοίγει δρόμο για την επίλυση πολυωνύμων οποιουδήποτε βαθμού, παρέχοντας όχι μόνο θεωρητική απάντηση σε ένα «κλειστό βιβλίο» της μαθηματικής ιστορίας, αλλά και πιθανές εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών.
Πρακτικές επιπτώσεις και μελλοντική έρευνα
Η ερευνητική ομάδα θεωρεί ότι η μέθοδός τους μπορεί να αξιοποιηθεί για την ανάπτυξη νέων αλγορίθμων σε πληθώρα εφαρμογών όπου απαιτείται επίλυση εξισώσεων, από την ανάλυση δεδομένων έως τη μοντελοποίηση φυσικών φαινομένων. Αντί να χρησιμοποιούν άρρητους αριθμούς και μεταβλητές με άπειρη δεκαδική αναπαράσταση, τα προγράμματα θα μπορούν να βασίζονται σε λογικά οικοδομημένες ακολουθίες και πολυωνυμικές σειρές.
Το ίδιο το Geode, η νέα ακολουθία που επινόησαν οι ερευνητές, υπόσχεται πλούσιο υλικό για περαιτέρω μαθηματική εξερεύνηση. Όπως δηλώνει ο Wildberger:
Πρόκειται για μια θεμελιωδώς νέα διάταξη αριθμών που επεκτείνει τους αριθμούς Catalan και φαίνεται να τους υποβαστάζει. Η μελέτη αυτής της δομής θα ανοίξει πολλούς νέους δρόμους και θα απασχολήσει τους συνδυαστικιστές για χρόνια.
Με λίγα λόγια, η έρευνα του Wildberger όχι μόνο αμφισβητεί καθιερωμένες μαθηματικές παραδοχές, αλλά φέρνει στο φως νέες οδούς επίλυσης για ένα πρόβλημα που θεωρούνταν άλυτο επί σχεδόν δύο αιώνες, καθιστώντας πιθανή την επιστροφή της άλγεβρας στην καρδιά της μαθηματικής και τεχνολογικής καινοτομίας.
[via]
